正态分布

Normal Distribution) $X \sim N (μ, σ^{2}$
随机变量服从参数为 $μ$ 、 $σ$ 的正态分布/高斯分布 (高斯加以推广)

广泛应用的最重要的一种分布，展现了大自然均衡的力量

正态分布的概率密度函数 $f (x)$ 和分布函数 $F (x)$ 分别如下：

\begin{aligned} f (x) & = \frac{1}{\sqrt{2 π} σ} e^{- \frac{(x - μ)^{2}}{2 σ^{2}}} - \infty < x < + \infty \\ F (x) & = \frac{1}{\sqrt{2 π} σ} \int_{- \infty}^{x} \exp (- \frac{(t - μ)^{2}}{2 σ^{2}}) d t \end{aligned}

期望： $E (X) = μ$ ，位置参数
方差： $D (X) = σ^{2}$ ，形状参数

$X \sim N (0, 1)$

\begin{aligned} φ (x) & = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- x^{2} / 2} - \infty < x < + \infty \\ Φ (x) & = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{x} \exp (- \frac{t^{2}}{2}) d t \end{aligned}

\begin{array}{r} \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- t^{2} / 2} d t = 1 \end{array}

标准正态分布的分布函数的值有表可查，所以一般都转为标准正态分布计算

$X \sim N (μ, σ^{2}) Y = \frac{X - μ}{σ} Y \sim N (0, 1)$

根据图像，容易得到：如果 $X \sim N (0, 1)$ 满足标准正态分布，则有

\begin{aligned} P {X \leq - x} = P {X \geq x} \\ P {X > x} = 1 - P {X \leq x} = 1 - Φ (x) \\ P {x_{1} < X < x_{2}} = Φ (x_{2}) - Φ (x_{1}) \\ P {- x < X < x} = 2 Φ (x) - 1 \end{aligned}

从中得到的特定的积分值：

\begin{aligned} \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- x^{2} / 2} d x & = \sqrt{2 π} \int_{0}^{+ \infty} e^{- x^{2} / 2} d x = \frac{\sqrt{2 π}}{2} \end{aligned}

如果随机变量服从 $X \sim N (μ, σ^{2})$ ，则 $X$ 落到 $(μ - 3 σ, μ + 3 σ)$ 的概率相当大，几乎必然落到这个区间

\begin{aligned} P {| X - μ | < σ} & = 0.6826 \\ P {| X - μ | < 2 σ} & = 0.9545 \\ P {| X - μ | < 3 σ} & = 0.9974 \end{aligned}

上分位点（只是一个记号，将一个点和大于该点的概率联系起来）

\begin{aligned} P {X > Z_{α}} = α 0 < α < 1 \\ Φ (Z_{α}) = 1 - α \\ Z_{1 - α} = - Z_{α} \end{aligned}